Come posso aumentare l'objective di un tabellone se il giocatore è in rapporti specifici e ha un object specifico nel suo inventario?

Non so come mettere insieme queste due condizioni in un unico command. Provai

/scoreboard players add @a{Inventory:[{id:"minecraft:iron_ingot"}]} [x=-506,y=56,z=-1176,r=1] Score 1 

ma non funziona, e ho problemi con le parentesi.

Il tuo integer command non è valido.
Il formato corretto sarebbe

 /scoreboard players add <player> <objective> <count> [dataTag] 

quindi il tuo command diventerebbe quindi:

 /scoreboard players add @a[x=-506,y=56,z=-1176,r=1] Score 1 {Inventory:[{id:"minecraft:iron_ingot"}]} 

Ricorda sempre: i tag dati NBT vengono sempre per ultimi in un command.